高校思政课说课讲课大赛策划书4篇

内容摘要：高校思政课说课讲课大赛策划书

篇一：高校思政课说课讲课大赛策划书篇二：高校思政课说课讲课大赛策划书

　　教

　　案

　　...

　　2016～2017学年度第一学期

　　课

　　程

　　名

　　称

　　思想道德修养与法律基础

　　教学单位

　　计算机系

　　教研室

　　数学

　　任

　　课

　　教

　　师

　　艺华

　　职

　　称

　　助教

　　授课班级

　　2017级各专业

　　师高等专科学校...

　　2016～2017学年度第一学期

　　授课课程：思想道德修养与法律基础

　　授课教师：艺华

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的绪论-珍惜大学生活

　　开拓新的境界

　　2017级数学教育1、2班

　　理论

　　授课时间

　　学时数

　　2017年11月11日

　　2学时

　　1.了解大学生活的特点，了解大学学习的特点和方法；

　　2.了解人际交往的特点，掌握人际交往的原则和艺术。

　　教

　　学

　　重点：帮助学生认识大学生活特点，学习方法，构建和谐的人际交往关系

　　重点和难点

　　难点：如何引导新生尽快适应新环境，确立新目标。

　　教学(具)准备

　　多媒体课件

　　教学方法

　　视频播放、启发式和案例研讨教学法

　　一、介绍本门课程的教学容、学时、考核方式、学习方法

　　教学

　　主要容

　　二、观看并讨论视频

　　三、大学生活的新变化及适应策略

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　一、导入新课

　　视频播放大学校长强教授在央视一套《开讲啦》做的一期节目，节目中强教授讲述了自己理解中的大学涵。

　　讨论三个问题：

　　1、大学生活与中学生活相比，有什么变化？

　　2、大学生活有哪些新奇和惊喜，又有什么困惑和不适？

　　3、大学生活的新变化对大学生提出了哪些新要求？

　　利用10分钟引入新课，播放视频

　　利用25分钟组织学生讨论发言（启发式教学）

　　5分钟总结讨论

　　二、讲授新课

　　（一）案例分析

　　过渡：通过以上的讲述我们知道了大学生活的特点及与中学生活的不同，面对学习要求、生活环境和社会活动方面的变化，我们是否要进行适应呢？能否很好的适应呢？适应不好的话，会产生哪些问题呢？:

　　案例1：反面

　　案例2：正面案例

　　...

　　总结：大学生活常见的不适应现象主要有：学习方法、人际交往、恋爱、心理健康等方面的问题。这些都是属于大学新生的普遍现象。我们要以积极的态度，勇敢地面对这些问题，主动而努力地去调整和适应大学的生活。

　　10分钟

　　归纳分析大学生活常见的问题

　　（二）适应策略

　　（1）提高独立生活能力

　　（2）树立新的学习理念

　　（3）培养优良学风

　　（4）确立成才目标，塑造崭新形象

　　（5）构建和谐的人际关系

　　1）人际交往原则

　　2）人际交往的艺术

　　35分钟

　　理论讲述新生适应大学生活的基本策略

　　三、课堂小结

　　1、给同学们推荐大学生必看励志书籍。

　　作业：结合自己的专业和大学学习的特点，制订一份大学学习计划书

　　5分钟

　　布置作业和解疑

　　板

　　书

　　设

　　计

　　绪论

　　珍惜大学生活

　　开拓新的境界

　　一、认识大学

　　二、大学生活常见的不适应现象

　　三、适应策略

　　树立新的学习理念

　　构建和谐的人际关系

　　教学反思

　　...

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的教

　　学

　　重点和难点

　　1.1复数（二）

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　1.会求复数的乘幂与方根，掌握共轭复数的公式

　　2.掌握归纳的数学方法，能应用复数理论解决某些数学问题

　　重点：复数的方根.难点：复数的开方运算.教学(具)准备

　　三角板、圆规

　　教学方法

　　讲授法、讨论法、练习法

　　一、复数的乘幂和方根

　　教学

　　主要容

　　二、共轭复数

　　三、应用

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　提问复数的三种形式

　　启发学生寻找复数与其乘幂模和辐角的关系，得出结论

　　一、复习旧知

　　复习复数的三种形式，利用指数式来解决乘幂和方根

　　二、讲授新课

　　（一）

　　复数的乘幂与方根

　　1.乘幂.设z?rei?，则zn?rnein??rn?cosn??isinn??

　　当z?1时，棣莫弗公式?cos??isin???cosn??isinn?

　　例1.3求cos3?,sin3?用cos?,sin?表示的式子

　　提示：利用棣莫弗公式及两复数相等的条件来解决此问题

　　...

　　2.方根.解方程wn?z，求w，设z?rei?,w??ei?，带入得?nein??rei?

　　从而有??nr,??

　　学生容易得出错误结论??n?，提示学生思考辐角意义

　　提示解题步骤，由老师学生共同完成

　　熟练灵活地运用这些公式，对化简计算、解答问题都会带来方便

　　提示学生利用共轭复数的相关公式

　　??2k?n，则wk??z?nk?nrei??2k?n,k?0,1,?,n?1结论：(1)开n次方就有n个根；(2)这n个根为接于以原点为心，nr为半径的圆周的正n边形的n个顶点(图1-2).

　　图1-2例1.4解方程z3?8?步骤：(1)解出z3??8并将-8化为三角式或指数式（其中r?8,???）

　　??2k???2k????isin

　　(2)zk?38?cos?k?0,1,233??

　　(3)分别解出三个根

　　（二）

　　共轭复数

　　1.模与辐角的关系：z?z,Argz??Argz

　　2.常用公式(1)z?zz,Rez?2z?zz?z(2)设R?a,b,c,??表示对于复数,Imz?22ia,b,c,…的任一有理运算，则R?a,b,c,???Ra,b,c,?

　　??例1.5设z1,z2是两个复数，试证z1?z2?z1?z2?2Rez1z2，并用此不等式证明z1?z2?z1?z2.证

　　z1?z2??z1?z2?z1?z2?z1z1?z2z2?z1z2?z1z2?z1?z2?2Rez1z2222222??????2又由于Rez1z2?z1z2?z1z2，则z1?z2?z1?z2?2z1z2??z1?z2?

　　222??两边开平方得z1?z2?z1?z2.

　　（三）

　　应用

　　...

　　例1.6连接z1,z2的线段的参数方程为z?z1?t?z2?z1??0?t?1?

　　连接z1,z2的直线的参数方程为z?z1?t?z2?z1?

　　引申：z1,z2,z3三点共线的充要条件为z3?z1?t(t为非0非1实数)z2?z1三、课堂练习

　　解方程z4??16四、课堂小结

　　复数的乘幂和方根的求法，共轭复数的相关公式，三点共线的充要条件

　　五、布置作业

　　P42—3、4；P43—板

　　书

　　设

　　计

　　板书1四、复数的乘幂与方根2.方根

　　练习

　　1、乘幂

　　推导过程

　　例题

　　板书2五、共轭复数

　　例题

　　六、应用

　　公式

　　例题

　　教学反思

　　...

　　.类比求动点轨迹方程，有学生说出第二题的答案

　　师生共同探讨参数t为何值（教材上面有错误）

　　学生总结本堂课知识，不足的教师补充

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的教

　　学

　　重点和难点

　　1.2复平面上的点集1.3复变函数(一)2015级数学教育

　　班

　　理论

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　1.熟悉平面点集基本概念，熟练区分简单闭曲线、光滑曲线和区域

　　2.对复变函数概念有初步了解

　　重点：区域的概念.难点：复变函数概念的理解.

　　教学(具)准备

　　三角板、圆规

　　教学方法

　　讲授法、讨论法

　　教学

　　主要容

　　一、平面点集的几个基本概念

　　二、复变函数的概念

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　...

　　一、导入新课

　　1.提问数学分析中聚点、孤立点、边界点、有(无)界集概念.

　　2.回忆上节提到的线段、直线等，它们都是复平面的点集，后续课中讲到解

　　析函数，其定义域、值域均为复平面上某点集.

　　二、讲授新课

　　（一）平面点集基本概念

　　1.点集的基本概念

　　(1)z0的??邻域,z0的去心邻域

　　邻域为复数列与极限论的基础

　　(2)聚点、点、孤立点、外点、边界点、边界

　　(3)闭集、开集；有界集、无界集

　　(4)区域、闭域

　　此部分容师生共充分理解上述定义，得出以下结论：

　　同讨论完成

　　1)点必为聚点；2)聚点可能属于E，可能不属于E；3)孤立点必为边界点；4)有边

　　界的不一定是有界集，无边界的必为无界集.

　　例1.(1)带形区域y1?Imz?y2(图1-3)；(2)同心圆环区域r?z?R(图1-4)

　　图1-3图1-42.若当曲线

　　对于若当曲线，给出图形举例，省去繁琐而抽象的定义赘述

　　图1-5非简单曲线

　　图1-6简单曲线

　　图1-7非简单闭曲线

　　...

　　图1-8简单闭曲线

　　图1-9光滑曲线

　　图1-10光滑闭曲线

　　（二）复变函数

　　对比数学分析中

　　1.定义(图1-11)函数的概念,找单值w?z，w?z2多值w?Argz,w?nz

　　到异同点

　　解释复变函数的图象需要四维空间，不能形象描述

　　图1-112.代数式w?u?x,y??iv?x,y?，指数式w?P?r,???iQ?r,??

　　例1.设有函数w?z2，试问它把z平面上的下列曲线分别变成w平面上的何种

　　曲线？(1)以原点为心,2为半径,在第一象限例的圆弧；(2)倾角??的直线；(3)提示学生前两题3考虑模与辐角，双曲线x2?y2?4.三题考虑代数关

　　系，师生共同讨

　　解

　　设z?r?cos??isin??,w?z2?R?cos??isin??，则R?r2,??2?(1)对应w平论完成

　　面的图形为以原点为心，4为半径，在u轴上方的半圆周(2)射线??(3)w?z2?x2?y2?2xyi，故u?x2?y2，所以在w平面上的像为直线u?4.

　　三、课堂练习

　　设函数w?z2?2，(1)当z?x?iy时

　　(2)当z?re时,w分别写成什么形式？

　　学生总结本堂课知识，不足的教四、课堂小结

　　师补充

　　若当曲线与区域的概念；复变函数的概念

　　五、布置作业

　　P43—10、11板

　　书

　　设

　　计

　　...

　　板书11、平面点集基本概念

　　结论

　　画图解释2、若当曲线与区域

　　画图解释若当曲线

　　例题

　　板书2画图解释区域2、复变函数

　　例题

　　定义

　　两种形式

　　教学反思

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　1.3复变函数(二)1.4复球面与无穷远点

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　1.理解复变函数的性质，会应用极限、连续解决相关问题

　　教学目的2.充分理解无穷远点与复球面的概念

　　3.培养学生类比、归纳的能力

　　教

　　学

　　重点和难点

　　重点：复变函数的极限与连续

　　难点：利用极限、连续的???语言解决问题

　　教学(具)准备

　　三角板、圆规

　　教学方法

　　讲授法、讨论法

　　...

　　1.复变函数的极限与连续

　　教学

　　主要容

　　2.利用极限、连续的???语言证明相关结论

　　3.复球面与无穷远点

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　一、复习旧知、导入新课

　　提问：数学分析中函数极限和连续的概念

　　二、讲授新课

　　（一）复变函数的极限与连续

　　1.极限

　　limf?z??w0????0,???0,?z:0?z?z0??有f?z??w0??

　　对比数学分析中z?z0的相关定义

　　注：z?z0指z沿四面八方通向z0的任何路径趋近于z0.

　　定理1.1limf?z??lim?u?x,y??iv?x,y???a?ib的充要条件为

　　z?z0?x,y???x0,y0?

　　limu?x,y??a，limv?x,y??b.

　　?x,y???x0,y0??x,y???x0,y0?书上的证明过程证

　　"?"

　　由于limf?z??lim?u?x,y??iv?x,y???a?ib有

　　???0,???0,?z:

　　比较简洁，不易z?z0?x,y???x0,y0?理解，将详细证0?z?z0??有f?z???a?ib???u?x,y??a??i?v?x,y??b???，则u?x,y??a??

　　明过程板书演示

　　v?x,y??b??

　　即limu?x,y??a，limv?x,y??b

　　?x,y???x0,y0??x,y???x0,y0?

　　"?"由limu?x,y??alimv?x,y??b，???0,???0,?z:0?z?z0??

　　?x,y???x0,y0??x,y???x0,y0?

　　有u?x,y??a??和v?x,y??b??于是f?z???a?ib???u?x,y??a??i?v?x,y??b?

　　?u?x,y??a?v?x,y??b?2?即limf?z??a?ib

　　z?z0连续满足三点，2.连续

　　limf?z??f?z0?????0,???0,?z:z?z0??有f?z??f?z0???

　　和实函数相同

　　z?z1?zz?

　　例1.证明f?z??????z?0?在原点无极限，从而在原点不连续.

　　2i?zz?

　　1?zz?1?z?z??z?z?2RezImz?

　　解

　　f?z??????.设z?r?cos??isin??，则

　　22i?zz?2izz提问：如果设z可否z?x?iy，证明得出相应结??2r2cos?sin??1,沿??趋近原点f?z???sin2?=?.极限不存在，故在原点不连续

　　论？

　　4r2?

　　?0，沿??0趋近原点...

　　...

　　例1.1设limf?z???，则f?z?在z0的某去心邻域有界.z?z析：要找到某一M,使f?z??M.由limf?z???知???0,???0,?z:有

　　z?z0f?z?????.在此式中想解出f?z??M，需要利用绝对值不等式f?z???，解出f?z?????

　　例1.11设limf?z??f?z0?f?z0??0，则f?z?在z0的某邻域恒不为零.z?z析：即证f?z??0，由limf?z??f?z0?有???0,???0,?z:有f?z??f?z0???z?z0想证f?z??0利用绝对值不等式f?z0??f?z??f?z??f?z0?得f?z??f?z0???

　　只需取??f?z0?即可.

　　此题过程由学生完成.

　　两道例题由教师分析解题思路，证明过程由师生共同完成

　　提问：?是否可取其他值？只要取??f?z0?都可证明

　　学生总结本堂课知识，不足的教师补充

　　（二）复球面与无穷远点

　　1.无穷远点的引入：首节课引例3知球面上点N在平面上无对应点，引入无穷远点与之对应，得到扩充复平面C??C????，与之对应的球面为复球面.扩充复平面的一个几何模型就是复球面.2.

　　?的??邻域：z?1?;1?的去心邻域：?z???

　　?3.相关结论：复平面以点?为唯一边界点，扩充复平面以点?为点，且它是唯一无边界区域.三、课堂练习

　　?xy,若z?0?

　　设函数f?z???x2?y2试证：f?z?在原点不连续.

　　??0,若z?0四、课堂小结

　　复变函数极限和连续的???语言，复球面与扩充复平面的概念

　　五、布置作业

　　P44-14、15板

　　书

　　设

　　计

　　...

　　板书11、复变函数的极限与连续

　　定理与证明(2)连续定义

　　(1)极限定义

　　例1.板书2例题1.10例1.112.复球面与无穷远点

　　(1)复球面、扩充复平面定义

　　(2)邻域、去心邻域

　　(3)结论

　　教学反思

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　1.掌握复变函数的导数与微分的概念

　　教学目的2.了解解析函数的概念，掌握判断解析函数的方法

　　3.培养学生类比、归纳的能力

　　教

　　学

　　重点和难点

　　重点：解析函数的判断方法

　　难点：解析函数必要、充要条件定理的证明

　　...

　　教学(具)准备

　　三角板

　　教学方法

　　一、复变函数的导数与微分

　　教学

　　主要容

　　二、解析函数及其简单性质

　　三、C.-R.方程

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　讲授法、讨论法

　　备

　　注

　　一、导入新课

　　复变函数研究的主要对象为解析函数，它是一类具有某种特性的可为函数，本节我们来研究这类函数和它的性质.

　　二、讲授新课

　　（一）解析函数

　　f?z??f?z0?f?z0??z??f?z0?提问数学分析中?lim1.导数

　　f??z0??lim

　　z?z0?z?0z?z0?z导数与微分的概念，类比得出复2.微分

　　df?z??f??z?dz

　　变函数相关概念

　　结论：(1)在一点可导?可微

　　(2)可微?连续

　　例2.1证明f?z??z在z平面处处不可微

　　?fz??z?zz??z?z?z???

　　证，当?z分别取实数和纯虚数时，极限不同，?z?z?z?z

　　则f?z??z极限不存在，从而在z平面处处不可微.

　　112例2.2求f?z??3z?4z?5的导数

　　例2.2的求导法则和数学分析中

　　（二）解析函数及其简单性质

　　一样，由学生完1.解析函数：w?f?z?在区域D可微，则称f?z?为D的解析函数

　　成

　　“解析”概念解释：

　　(1)f?z?在z0解析：f?z?在z0的某一邻域解析；

　　(2)f?z?在区域D解析：f?z?在区域D可微；

　　(3)f?z?在闭域D解析：f?z?在包含闭域D的区域解析.

　　??...

　　...

　　经过上述解释，可得以下结论：

　　(1)f?z?在z0解析?f?z?在z0可微；

　　(2)f?z?在区域D解析?f?z?在区域D可微

　　奇点：不解析点(无定义、不连续、不可导)（三）柯西-黎曼方程

　　1.C.-R.方程的引出

　　假设w?f?z??u?x,y??iv?x,y?是复变函数z?x?iy的一个定义在区域D的函数.当二元实函数u?x,y?,v?x,y?给定时，此函数也就完全确定.一般说来，如果函数u?x,y?,v?x,y?相互独立，即使函数u?x,y?,v?x,y?对x与y所有的偏导数都存在，函数f?z?通常仍是不可微的.例如，w?z?x?iy处处连续，并且u?x,v??y对x与y的一切偏导数都存在且连续，但w?z却是一个处处不可微的函数.提出想法：如果函数是可微的，它的实部u?x,y?与虚部v?x,y?应不是独立的，而必须适合一定的条件，下面我们来探讨这种条件。

　　探讨：若f?z?在一点z?x?iy可微，则有

　　f??z??lim?z?0f?z??z??f?z?(2.1)?z设?z??x?i?y,f?z??z??f?z???u?i?v,则(2.1)变为

　　f??z??lim?u?i?v(2.2)?x?0?x?i?y?y?0?u?v

　　?ilim?x?0?x?x?0?x?u?v即

　　f??z???i(2.3)?x?x先设?y?0,?x?0，则(2.2)式变为f??z??lim再设?x?0,?y?0，则(2.2)式变为f??z???ilim?u?v?lim

　　?y?0?y?y?0?y即

　　f??z???i?u?v?(2.4)

　　?y?y比较(2.3)与(2.4)得出

　　?u?v?u?v?,??(C.-R.)?x?y?y?x上述方程称为柯西—黎曼方程，简称为C.-R.方程.

　　熟练掌握解析的概念

　　学生分组讨论，完成证明过程，体现师学生的示性

　　...

　　教师点睛

　　必要条件：f?z?在?x,y?满足C.-R.方程.

　　充要条件：①u?x,y?,v?x,y?在?x,y?可微；②f?z?在?x,y?满足C.-R.方程.

　　充分条件：①ux,uy,vx,vy在?x,y?连续；②f?z?在?x,y?满足C.-R.方程.

　　3.函数若f?z?在区域D解析

　　充要条件：①u?x,y?,v?x,y?在区域D可微；②f?z?在区域D满足C.-R.方程.

　　充分条件：①ux,uy,vx,vy在区域D连续；②f?z?在区域D满足C.-R.方程.

　　4.求导公式f??z??ux?ivx

　　2例2.3讨论函数f?z??z的解析性

　　解

　　u?x,y??x2?y2,v?x,y??0，故ux?2x,uy?2y,vx?vy?0.又这四个偏导数掌握函数解析性的一般方法，由2在z平面上处处连续，则f?z??z只在z?0可微，但在整个z平面上处处不解析.学生总结步骤

　　例2.4讨论函数f?z??x2?iy的可微性和解析性.

　　解

　　u?x,y??x2,v?x,y???y故ux?2x,uy?vx?0,vy??1，要满足C.-R.方程，必

　　11须x??，故仅在直线x??上满足C.-R.方程，且偏导数连续，从而f?z?仅在

　　221直线x??上可微，但在z平面上处处不解析.并且f??z?x??1??ux?ivx?x??1??1222三、课堂练习

　　试证函数f?z??ex?cosy?isiny?在z平面上解析，且f??z??f?z?.

　　学生总结本堂课四、课堂小结

　　知识，不足的教

　　函数在某点可微的必要、充要、充分条件；函数在某区域的充要、充分条件

　　师补充

　　2.函数若f?z?在一点z?x?iy可微

　　五、布置作业

　　P90—3、4、5、8板

　　书

　　设

　　计

　　...

　　板书11、复变函数的导数与微分2、解析函数及其简单性质

　　(1)导数(1)解析函数

　　(2)微分

　　例2.2例2.1(2)奇点

　　板书23、柯西-黎曼方程(2)函数在某点可微的各条件

　　例2.3(1)C.-R.方程的引出

　　(3)函数在某区域可微的各条件

　　例2.4教学反思

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的2.2初等解析函数

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　1.掌握指数函数和三角函数的性质，并掌握其与实变函数的异同

　　2.会利用解析函数的性质解决一般复数性问题

　　教

　　学

　　重点和难点

　　重点：指数函数、三角函数的性质.难点：复函与实函相应知识的不同....

　　...

　　教学(具)准备

　　三角板

　　教学方法

　　讲授法、讨论法

　　一、指数函数

　　教学

　　主要容

　　二、三角函数

　　三、双曲函数

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　(1)(2)学生回答;(3)给出基本周期和周期的概念，证明由学生完成,强调与数分中不同;(4)举例说明;(5)回忆数分相关知识,Rolle定理和罗比达法则，由学生验证

　　(2)验证和差化积公式之一;(3)由学生讨论并验一、导入新课

　　上节课我们将数学分析中的知识平行推广到复变函数中，本节课我们来研究初等函数在复变函数中的推广，会得到一些性质，其中有与数学分析不同的新性质，利用这些性质我们可以解决一些复数性问题。

　　二、讲授新课

　　（一）指数函数

　　1.定义

　　ez?ex?iy?ex?cosy?isiny?

　　?2.性质

　　(1)ez?ex,argez?y,ez?0,?ez??ez;(2)ez1?z2?e?e,ez1z2z1?z2ez11?z2,e?z?z;ee(3)ez以2?i为基本周期，以2k?i?k?Z?为周期;(4)e?无意义;(5)不满足Rolle定理，满足罗比达法则.

　　（二）三角函数

　　eiz?e?izeiz?e?iz,cosz?1.定义

　　sinz?

　　2i2教学设计：由欧拉公式eiy?cosy?isiny,e?iy?cosy?isiny启发学生思考怎样求出cosy和siny，将y以复数z代替，便得到正余弦的定义.??2.性质

　　(1)?sinz??cosz,?cosz???sinz;...

　　...

　　(2)sinz是奇函数，cosz是偶函数，并满足三角恒等式;(3)sinz和cosz都以2?为基本周期;(4)sinz的零点为k??k?Z?，cosz的零点为k??(5)sinz和cosz在复数域无界.（三）双曲函数

　　ez?e?zez?e?z,coshz?

　　定义

　　双曲正余弦

　　sinhz?

　　22?2?k?Z?;证;(4)求解有难度,教师板演一个,另一个由学生完成;(5)反例cosiy无界,强调与数分中不同

　　双曲函数为选修容

　　按照正余弦定义解决此类型问题

　　学生总结本堂课知识，不足的教师补充

　　记忆方法：正余弦定义中去掉所有的i即可.例2.5求sin?1?2i?的值

　　ei?1?2i??e?i?1?2i?e?2?i?e2?i?解

　　sin?1?2i??

　　2i2ie?2?cos1?isin1??e2?cos1?isin1??

　　2ie?2?e2e?2?e2sin1?icos1=22=cosh2sin1?isinh2cos1例2.6?z?Z，若sin?z????sinz,则??2k?,k?Z

　　????解

　　由已知有sin?z????sinz?0，即2cos?z??sin?0,2?2?于是sin?2?所以?2?k?

　　则

　　??2k?,k?Z.三、课堂练习

　　利用定义证明sin?z1?z2??sinz1cosz2?cosz1sinz2四、课堂小结

　　指数函数与三角函数的性质，与数分的不同之处

　　五、布置作业

　　P91—10P92-13、14板

　　书

　　设

　　计

　　...

　　板书11、指数函数

　　性质相关证明

　　(1)定义

　　(2)性质2.三角函数

　　(1)定义

　　(2)性格

　　板书2性质相关证明3.双曲函数

　　例2.6例2.5教学反思

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的2.3初等多值函数

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　1.明确对数函数和一般指数函数的概念

　　2.会求一个复数的对数和复指数

　　...

　　教

　　学

　　重点和难点

　　重点：复对数的求法.难点：将一般指数函数归为求解复对数.

　　教学(具)准备

　　三角板

　　教学方法

　　讲授法、讨论法

　　教学

　　主要容

　　一、对数函数

　　二、一般指数函数

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　找学生回答定义，巩固上节课的容

　　提示注意区别一、导入新课

　　前几节课我们研究了初等解析函数，它们分别是指数函数、三角函数、双曲函数，这三类函数均为单值函数。本节课介绍两种多值函数——对数函数和一般指数函数.提问：指数函数和三角函数的定义.二、讲授新课

　　（一）对数函数

　　1.定义

　　指数函数ew?z的反函数即为对数函数，称w为复数z的对数，记为w?Lnz?z?0,??

　　2.求解公式推导.设z?rei?,w?u?iv

　　则ew?z变为eu?iv?rei?，即eueiv?rei?，于是有u?Lnr,v???2k?,k?Z

　　得出对数公式

　　Ln与ln

　　在设z,w时，让学生思考设代数式还是指数式，学生讨论完成

　　负数也有对数，强调与实变函数的不同之处

　　例2.8由学生完Lnz?lnr?i???2k???lnz?i?argz?2k???lnz?iArgz

　　主值lnz?lnz?iargz????argz???

　　问：“负数无对数”在复数域是否成立？

　　例2.lni?lni?i?2??2i

　　??????Lni?lni?i??2k?????2k??i

　　?2??2?4例2.Ln?3?4i??ln5?iarctan?2k?i?k?Z?

　　3（二）一般指数函数

　　...

　　1.定义

　　称w??z???0,??为一般指数函数.2.求解方法

　　w???eizLn?z?ezLn?

　　?????i?ln1?i??2k????2???

　　例2.9(1)ii?eLni?eiLni?e(2)21?i?e??2k?2?

　　?e?1?i?Ln2?e?1?i??ln2?i?0?2k???

　　成，并复习主辐角的求法

　　对比高中数学中的对数恒等式，提示注意区别?e?ln2?2k???i?ln2?2k??

　　?e?ln2?2k???cosln2?isinln2?

　　Ln与ln

　　由学生板演，教师点评

　　学生总结本堂课知识，不足的教师补充

　　三、课堂练习

　　1.求Ln?3?4i?

　　2.解方程(1)ez?1?3i

　　(2)cosz?sinz?(3)lnz??2i

　　(4)1?ez?3.试求?1?i?及3i之值.i四、课堂小结

　　1.对数函数的求解方法

　　2.一般指数函数的求解方法.五、布置作业

　　P93—20、24板

　　书

　　设

　　计

　　...

　　板书11、对数函数

　　练习

　　(1)定义

　　(2)求解公式推导

　　例题

　　板书22.一般指数函数

　　例题

　　练习

　　(1)定义

　　(2)求解方法

　　教学反思

　　...

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　3.1复积分的概念及其简单性质

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　1.充分理解复积分的概念

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　教学目的2.会求简单的复积分

　　3.培养学生利用已知探索解题方法的自主学习精神

　　教

　　学

　　重点和难点

　　重点：复积分的计算.难点：参数思想.

　　教学(具)准备

　　三角板

　　教学方法

　　一、复积分的定义

　　教学

　　主要容

　　二、复积分的计算

　　三、复积分的性质

　　四、积分估值

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　定积分的求法：分割，近似求和，取极限

　　周线的概念为第二节做准备

　　由学生回忆数学分析中相应概念，对应着模拟出复积分的概念，教师给予及时评价

　　讲授法、讨论法

　　一、导入新课

　　复积分是研究解析函数的一个重要工具，积分的概念和数学分析中积分的概念相似。提问：在数学分析中积分是如何定义的？分几个步骤求解？

　　二、讲授新课

　　（一）复积分的定义

　　1.准备知识

　　(1)周线：逐段光滑的简单闭曲线.(2)方向：“反时针”为正，“顺时针”为负.2.定义

　　设有向曲线C:z?z?t?,???t???以a?z???为起点，b?z???为终点，a?z0,z1,?zn?b把曲线Cf?z?沿C有定义.顺着C从a到b的方向在C上取分点：分成若干个小弧段.在从zk?1到zk?k?1,2,?n?的每一段弧上任取一点?k，作和数...

　　...

　　Sn?f??k??zk,其中?zk?zk?zk?1.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值

　　k?1让学生考虑如果积分路径是顺时趋于零时，如果和数Sn的极限存在且等于J，则称f?z?沿C可积，而称J为f?z?沿针，结果会怎样？

　　C的积分，并记为J?f?z?dz.C为积分路径.C

　　3.注意(1)若J存在，一般不能写成f?z?dz，因为积分和路径C有关.

　　(2)可积的必要条件是有界.

　　（二）复积分的计算步骤

　　1.写出积分路径C的参数方程z?z?t?,??t??,dz?z??t?dt.

　　2.代入f?z?dz?f?z?t??z??t?dz

　　3.计算此实积分.

　　例3.1计算积分Rezdz.(1)连接由0到1?i的直线段

　　(2)连接0到1以及1到1?i例题说明，即使C起点终点一样，的直线段所组成的折线.只要积分路径不同，结果就可能解

　　设点1为A,点1?i为B

　　不同

　　11?x?t1?i

　　(1)OB:?

　　,z?t?it?0?t?1?,Rezdz?t?1?i?dt??1?i?tdt?C02?y?t

　　?x?t?x?1(2)OA:?,z?t?0?t?1?,AB:?,z?1?it?0?t?1?

　　?y?0?y?t

　　111Rezdz?tdt?idt??i

　　C002（三）复积分的基本性质

　　将数学分析中的性质平移过来，1.af?z?dz?af?z?dz

　　CC让学生找出它们的异同

　　2.?f?z??g?z??dz?f?z?dz?g?z?dz

　　CCC

　　f?z?dz，C由C1和C2衔接而成

　　f?z?dz?f?z?dz?CC1C24.?f?z?dz??f?z?dz

　　f?z?dz?f?z?dz?f?z?ds

　　CCC

　　（四）积分估值

　　定理3.1f?z?连续，存在M?0使f?z??M，L为C之长，则f?z?dz?ML.

　　?n?????????????????????????...

　　...

　　三、课堂练习

　　证明dz?Cz2dz?2四、课堂小结

　　复积分的定义，计算方法，基本性质，积分估值

　　学生总结本堂课知识，不足的教师补充

　　五、布置作业

　　P141—1，P142—2(1)(2)板

　　书

　　设

　　计

　　板书11、复积分定义(3)注意

　　例题

　　(1)准备知识

　　(2)定义2.复积分的计算

　　步骤

　　板书23.复积分的性质

　　例题4.积分估值

　　教学反思

　　...

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的教

　　学

　　重点和难点

　　3.2柯西积分定理

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　1.掌握柯西积分定理及其3个推广

　　2.培养学生发现和延拓知识的能力

　　重点：柯西积分定理.难点：定理的证明.

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　教学(具)准备

　　三角板

　　教学方法

　　讲授法、讨论法

　　一、柯西积分定理

　　教学

　　主要容

　　二、不定积分

　　三、柯西积分定理的推广

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　通过上节课的例题让学生猜想积分值和积分路径无关所需条件，教师总结之后得出柯西积分定理

　　一、导入新课

　　上节课我们讲到若积分路径不同，积分值也可能不同，本节课我们来研究积分值与积分路径无关的情况.二、讲授新课

　　（一）柯西积分定理

　　1.准备知识

　　(1)单连通区域D:在D任意画简单闭曲线，其部都含于D;(2)周线:逐段光滑的简单闭曲线.2.定理3.2(柯西积分定理)设f?z?在z平面的单连通区域D解析，C为D任一周线，则?f?z?dz?0.C3.定理3.3(柯西积分定理推广1)设f?z?在z平面的单连通区域D解析，C为D任一闭曲线，则?f?z?dz?0.C证

　　如图3-1，可看出曲线C总可以看作由有限条周线衔接而成，于是有

　　...

　　CC1C2Cn

　　由定理3.2知柯西积分定理的结论依然成立.

　　图3-1推论3.4f?z?在z平面的单连通区域D解析,则f?z?在D积分与路径无关，即

　　z1?z0,z1?D,f?z?dz之值不依赖于D连接z0,z1的曲线.z图3-2?证

　　C1,C2是连接z0,z1任意两曲线(如图3-2),则C1与C2衔接成D一闭曲线.于教材中未给出证明,教师提示思f?z?dz，移项即得证

　　是有0?f?z?dz?f?z?dz??f?z?dz?f?z?dz?路，由学生完成

　　CC1C2C1C2（二）不定积分

　　z类比数学分析相1.变上限积分

　　F?z??f???d?

　　(定点z0?D，动点z?D)

　　z0应知识得出

　　2.F?z?与f?z?的关系.

　　定理3.5f?z?在单连通区域D解析,则F?z?在D解析，且F??z??f?z?.证明过程需要用F?z??z??F?z?到数学分析的大?f?z?，即证下式成立分析证明F??z??f?z?，即证lim?z?0量知识，由于学生?z基础不同，采取分F?z??z??F?z??f?z???.

　　层次教学，有兴趣?z和能力的学生，建议他们尽量掌握证

　　以z为心作一个含于D的小圆，在小圆取动点z??z，于是

　　证明思路与方法

　　z??zzz??zF?z??z??F?z??f???d??f???d??f???d?

　　(3.1)

　　z0z0z?z

　　1z??zf?z?d?

　　又因为

　　f?z??z?z

　　?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz????f?z?dz

　　???????????...

　　...

　　(3.2)

　　F?z??z??F?z?1z??z(3.1)减(3.2)得

　　?f????f?z??d?.?f?z???z?z?z根据f?z?在D的连续性，对于任给的??0，只要开始取的那个小圆足够小，则小圆一切点?均符合条件f????f?z???，于是有F?z??z??F?z??f?z?，即F??z??f?z?.?z?0?zlimF?z??z??F?z??f?z???.即?z3.不定积分

　　(1)定义

　　如果函数f?z?连续，则称符合条件???z??f?z?的函数??z?为f?z?的一个不定积分或原函数.(2)牛顿-莱布尼茨公式?f?z?dz???z1????z0?

　　z0z1（三）柯西积分定理的推广

　　1.柯西积分定理推广2定理3.6(柯西积分定理等价定理)设C是一条周线，D为C之部，函数f?z?在闭域D?D?C上解析，则?f?z?dz?0.C证(i)由定理3.2推证定理3.6.由定理3.6的假设，函数f?z?必在z平面上一含D的单连通区域G解析，于是由定理3.2就有?f?z?dz?C(ii)由定理3.6推证定理3.2.由定理3.2假设：“函数f?z?在单连通区域D解析，C为D任一周线”，设G为C之部，则f?z?必在闭域G?G?C上解析.于是由定理3.6有?f?z?dz?0.C定理3.7(柯西积分定理推广2)设C使一条周线，D为C之部，则f?z?在D解析，在D?D?C上连续，则?f?z?dz?0.C2.柯西积分定理推广3(1)定义

　　考虑n?1条周线C0,C1,?,Cn，其中C1,?,Cn中每一条都在其余各条的外部，而它们又全都在C0的部.在C0的部同时又在C1,?,Cn外部的点集构成一个有界的n?1连通区域D，以C0,C1,?,Cn为它的边界.在这种情况下，称区域D的边界是一条复周线C?C0?C1???Cn.(图3-3为n?2的情形)...

　　...

　　.??

　　牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分的桥梁

　　两个定理互相推证的过程由学生完成，教师给予引导和及时评价

　　定理3.7将定理3.6的条件放宽，条件“在D?D?C连续”也可以换为“在C连续”

　　图3-3总结柯西积分定??(2)定理3.8(柯西积分定理推广3)

　　设D是由复周线C?C0?C1???Cn所围理和它的等价定理，以及三个推广

　　成的有界n?1连通区域，函数f?z?在D解析，在D?D?C上连续，则有

　　f?z?dz?0，C

　　或写成

　　f?z?dz??f?z?dz????f?z?dz?(3.3)

　　C0C1Cn

　　f?z?dz???f?z?dz

　　(3.4)

　　或写成

　　f?z?dz?f?z?dz?C0C1C2Cn

　　（式(3.4)意义为沿外边界积分等于沿边界积分之和）

　　证

　　取n?1条互不相交且全含在D的光滑弧段L0,L1,?,Ln作为割线.用它们顺

　　次地与C0,C1,?,Cn连接.设想将D沿割线割破，于是D就被分成两个单连通区域

　　(图3.3为n?2的情形)，其边界各是一条周线，分别记为?1和?2.由定理3.7，有

　　f?z?dz?0,f?z?dz?0.二式相加得f?z?dz?0.从而有(3.3)和(3.4)成立.?1?2C

　　?n?1??2?idz

　　例3.4设a为周线C部一点，则.??

　　nC?n?1,且为整数z?a??证

　　以a为圆心画圆周C?，使C?全含于C的部，则由(3.4)式有

　　?n?1??2?idzdz

　　???C

　　n?1,且为整数?z?a?nC??z?a?n?三、课堂练习

　　不用计算，验证下列积分之值为0，其中C均为单位圆周z?1.

　　dzdzdz(1)

　　(2)

　　(3)

　　(4)zcosz2dz

　　22CcoszCz?2z?2Cz?5z?6C

　　??????????????????????...

　　...

　　四、课堂小结

　　柯西积分定理和它的三个推广

　　五、布置作业

　　P42—5板

　　书

　　设

　　计

　　板书11、柯西积分定理(3)推广1(1)预备知识

　　(2)柯西积分定理2、不定积分

　　(1)积分上限函数

　　(2)定理及证明

　　板书2定理证明

　　例题

　　(3)牛顿-莱布尼茨公式

　　板书33、柯西积分定理的推广(2)推广2(1)推广1教学反思

　　...

　　学生总结本堂课知识，不足的教师补充

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的教

　　学

　　重点和难点

　　教学(具)准备

　　教学方法

　　3.3柯西积分公式及其推论

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　1.掌握柯西积分公式及解析函数的无穷可微性

　　2.利用上述公式的变形式求解周线积分

　　重点：求解周线积分.难点：柯西积分公式的证明.

　　三角板、圆规

　　讲授法、讨论法

　　一、柯西积分公式及其推论

　　教学

　　主要容

　　二、解析函数的平均值定理

　　三、解析函数的无穷可微性

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　此公式在计算周线积分及证明高阶求导公式中有充分应用，让学生给予充分重视.

　　一、导入新课

　　1.柯西积分定理及其推论都分别是什么？

　　2.柯西积分定理推广到复周线的形式是什么？

　　由以上两个问题导出本节课容，利用柯西积分定理的复周线形式导出一个用边界值表示解析函数部值的积分形式.二、讲授新课

　　（一）柯西积分公式

　　1.柯西积分公式

　　定理3.设区域D的边界为周线C,f?z?在D解析，在C连续，则有

　　f?z??1f???d??C2?i??z?z?D?

　　证

　　?z?D,F????周线??C???，有

　　f???在D内除z外均解析，以z为心作圆周??，使之含于D.对于复??z...

　　...

　　这一步非常f???f???d??d?

　　于是有

　　重要，将复C??z????z杂路径简化

　　f???d?d??2?if?z?即可.而2?i?只需证lim

　　????z??0????z

　　图3-4f???f?z?f????f?z?

　　则有

　　d??d??d?

　　(3.5)????z????z??

　　??z

　　由f???的连续性

　　???0,???0,??:??z????有f????f?z???.于是(3.5)不大于

　　f????f?z???

　　d??d???2???2??.定理得证.??

　　??z????

　　2.柯西积分公式的变形式

　　利用推论可f???d??2?if?z??z?D?

　　推论3.1以求周线积C??z分，此处注意强调??zf???注：柯西积分公式中??z是被积函数F????在C部的唯一奇点.若F???在C有是C唯一奇??z点

　　两个或两个以上奇点，则不可用此公式.

　　1f???

　　d?的值如何？

　　思考题：定理3.9的条件下，若z?D，则满足柯西积2?iC??z分定理的条?件，积分值d?,其中C:??2例3.5求解周线积分

　　C9??2???i?是解

　　???i为被积函数在??2的唯一奇点，则

　　2???9??

　　d??d??2?i?C9??2???i?C????i?9??2???i5（二）解析函数平均值定理

　　定理3.11证明关键在设定理3.11若f?z?在??z0?R解析，在闭圆??z0?R上连续，则

　　参数方程,12?并利用柯西f?z0??fz0?Rei?d?

　　积分公式证2?0明,由学生意义：f?z?在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数.分组讨论完成

　　f???f???f???d??d??????z?C??z??????zd???????????????????????...

　　...

　　例3.6设f?z?在z?R上解析，若?a?0,使当z?R时f?z??a,且f?0??a.试证：在z?Rf?z?至少有一零点.

　　证

　　设f?z?在z?R无零点，而由题设f?z?在z?R上也无零点.于是设F?z??在闭圆z?R上解析.由解析函数平均值定理F?0??又有题设F?0??12?1f?z?12??2?0FRei?d?.??11111?，FRei??.从而有??F?0?

　　i?f?0?aaafRe??????2?0FRei?d????111??2??

　　矛盾.故在圆z?Rf?z?至少有一个零点.a2?a（三）解析函数的无穷可微性

　　1.柯西积分公式的高阶求导公式

　　(1)猜测公式

　　f?z??1f???1?2f???1f??????????fz?d?fz?d?

　　d?，，2?i?C???z?22?i?C???z?32?i?C??z1?2?3f???n!f????n???d?fz?d?，猜测4n?1??CC2?i2?i???z????z?f????z??定理3.12在定理3.9条件下，f?z?在D有各阶导数，且有

　　f?n??z??n!f???d?n?1?C2?i???z?cosz?z?D?n?1,2,?

　　例3.计算?C?z?i?3dz，其中C是绕i一周的周线.2?i?

　　解

　　???dz?coszC2!?z?i?3coszz?ie?e?1???icosi???i2(2)定理3.12的证明

　　①证明n?1情形.即证f??z??1f???d?成立

　　2?i?C???z?2即证lim图3.5?z?01f???f?z??z??f?z?d?，?2?C2?i???z??z即证...

　　...

　　.f?z??z??f?z?1f????d???成立.其中

　　2?C?z2?i???z?

　　提示：含“至多”、“至少”字眼时多用反证法.

　　让学生根据形式上求导的结果来猜测高阶导公式

　　重点把握思路，提示用数学归纳法来证明

　　关键找?

　　f?z??z??f?z?1?1f???1f????1f????d??d??d?.

　　?????CCC?z?z?2?i??z??z2?i??z?2?i???z??z????z?设沿周线C，f????M，设d为z与C上点?间的最短距离.于是当??C时??z?d?0.设?z?dd,??z??z???z??z?，则

　　22先设定一个1f???1f????zf???d??d??d?

　　2?i?C???z??z????z?2?i?C???z?22?i?C???z??z????z?2?z2??=d

　　2?f???C??z??z??z?d3?d??2?zM2?d2?d2?Cd???zML?d3(L为C之长)要使之小于?.解得

　　?d?d3??1f??????fz?d?

　　?z?，取??min?,，于是有?2?C2?iML2ML???z???②设n?k时结论成立.即f?k??z??k!f???d?，当n?k?1时，有

　　2?i?C???z?k?1?f?k??z??z??f?k??z?1?k!f???k!f???lim?limd??d???

　　k?1k?1?CC?z?0?z?0?z2?i??z2?i???z??z????z?????k?1?!2?i????z?Cf???k?2d?定理得证.

　　简单证法

　　(按照导数定义证明)：

　　limf?z??z??f?z?11f????z1f????limd??d?

　　2??CC?z?0?z?z2?i???z??z????z?2?i???z??z?04.解析函数的无穷可微性

　　定理3.13设f?z?在z平面上的区域D解析，则f?z?在D具有各阶导数，并且它们在D解析。

　　三、课堂练习

　　2z2?z?1dz(2)

　　(1)?Cz?1??z?1?C2z2?z?12dz

　　四、课堂小结

　　柯西积分公式和高阶导公式

　　五、布置作业

　　P142—9、1...

　　...

　　实变函数无此性质

　　学生总结知识点，教师补充

　　板

　　书

　　设

　　计

　　板书11、柯西积分定理

　　证明

　　推论

　　例题

　　板书22解析函数平均值定理3.柯西公式高阶求导公式

　　证明

　　例题

　　板书3定理证明

　　4.解析函数的无穷可微性

　　教学反思

　　...

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的教

　　学

　　重点和难点

　　3.4解析函数与调和函数的关系

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　1.掌握解析函数与调和函数的关系

　　2.会求已知函数作为实(虚)部的解析函数

　　重点：共轭调和函数的概念.难点：已知调和函数，求以其为实部的解析函数.

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　教学(具)准备

　　三角板

　　教学方法

　　教学

　　主要容

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　同理所得结论由学生完成.

　　讲授法、讨论法

　　一、调和函数

　　二、调和函数与解析函数的关系

　　一、导入新课

　　上一节我们证明了在D解析的函数具有任何阶导数，因此其实、虚部u和v都有连续二阶偏导数、本节研究如何选择u和v才能使u?iv在D解析.二、讲授新课

　　（一）调和函数

　　1.探索解析函数的u,v满足的条件

　　?u?v?u?v?2u?2v?2u?2v?,??，有2?f?z??u?iv在D解析，则

　　,??2?x?y?y?x?x?y?y?y?x?x?2v?2v?2u?2u?2v?2v?由于偏导连续，则，于是有2?2?0.同理2?2?0.即u和v?x?y?y?x?x?y?x?y?2?2在D满足拉普拉斯(Laplace)方程?u?0,?v?0.这里??2?2是一种运算?x?y记号，称为拉普拉斯算子.2.相关定义

　　定义1若H?x,y?在D有二阶连续偏导数，且满足?H?0，则称H?x,y?为区域D...

　　...

　　的调和函数.

　　定义2若在D满足C.-R.方程ux?vy,uy??vx，则称v为u的共轭调和函数.3.思考题

　　①v为u的共轭调和函数，u,v是否可以互换？

　　②若v为u的共轭调和函数，则v的共轭调和函数是什么？

　　注：任一个二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.（二）解析函数等价定理

　　提问：以前我们学过解析函数的两个等价定理，它们的容分别是什么？

　　定理3.14f?z??u?x,y??iv?x,y?在D解析的充要条件是v?x,y?是u?x,y?的共轭调和函数.练

　　验证u?x,y??x3?3xy2是z平面上的调和函数

　　例3.8求以u?x,y??x3?3xy2为实部的解析函数f?z?，使之满足f?0??i.解ux?3x2?3y2,uy??6xy.由ux?vy得vy?3x2?3y2，两边关于y积分得

　　由调和函数的定义知解析函数的实部u和虚部v均为调和函数

　　①不可以②?u上述问题由学生讨论完成

　　第二章容

　　此为第三个等价定理

　　思考：如果先由C.-R.方程另一个先求出v?x,y?，结果是否一样？学生分组讨论并汇报结果.

　　学生总结本堂课知识，不足的教师补充

　　v?x,y???3x2?3y2dy???x??3x2y?y3???x?,vx?6xy????x?.由vx??uy得6xy?6xy????x?，于是???x??0,??x??C

　　因此

　　v?x,y??3x2y?y3?C.于是

　　f?z??u?iv?x3?3xy2?i?3x2y?y3?C???x?iy??Ci.

　　3??又f?0??i得Ci?i，则C?1.

　　三、课堂练习

　　验证v?x,y??arctan函数f?z?.

　　y?x?0?在右边平面是调和函数，并求以此为虚部的解析x四、课堂小结

　　解析函数的等价条件，已知调和函数求解析函数的步骤.五、布置作业

　　P143—16(1)(2)

　　...

　　板

　　书

　　设

　　计

　　板书11、调和函数2.解析函数等价定理

　　板书2例题

　　练习题

　　教学反思

　　...

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的教

　　学

　　重点和难点

　　4.0实级数的相关知识

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　1.掌握实级数的相关概念

　　2.会用比较法、比值法、根值法、莱布尼兹判别法判断级数的敛散性.重点：判断实级数的敛散性.难点：比较法的推论.

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　教学(具)准备

　　三角板

　　教学方法

　　教学

　　主要容

　　一、实级数的基本概念

　　二、实级数敛散性的判别法

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　讲授法、讨论法

　　一、导入新课

　　在讲第四章复级数之前，学生应先掌握基本的实级数知识，由于《数学分析》

　　中实级数部分没有讲，所以在讲本章知识之前先学习一下相关知识.

　　二、讲授新课

　　（一）实级数的基本概念

　　?对比数学分析相1.数项级数un?u1?u2???un??

　　应知识

　　n?12.n项部分和(前n项和)Sn?u1?u2??un

　　3.收敛

　　limSn?S或limun?S，称S为级数的和.n??n??

　　i?1发散

　　?Sn?发散或limSn不存在.

　　n??

　　4.几个常用结论

　　师生共同讨论几?(1)几何级数arn?1?a?ar?ar2??arn?1??

　　何级数的敛散性

　　n?1???...

　　...

　　?1111?1?p?p???p??

　　(2)广义调和级数

　　pn23nn?1??11当p?1时，级数发散，当p?1时，级数收敛.常用发散，收敛.

　　2n?1nn?1n熟记以上结论,以后会经常应用

　　?1111?1???????收敛

　　(3)级数

　　n!2!3!n!n?1（二）判断级数敛散性的方法

　　1.判断正项级数敛散性的方法

　　?正项级数un?u1?u2???un??，其中ui?i?1,2,??为正数

　　n?1??un与vn,?N?N?,?n?N有un?cvn

　　(1)比较法

　　n?1n?1????①若vn收敛，则un收敛；②若un发散，则vn发散.

　　n?1n?1n?1n?1类比比较法得出??unun与vn,lim?k?0?k????

　　推论

　　推论，师生共同n??vn?1n?1n完成

　　??vn收敛，,则un收敛；

　　①0?k???，则二者有相同的敛散性;②若k?0,且n?1n?1??③若k???且vn发散，则un发散.

　　n?1n?1当l?1时级数un?1?l，(2)比值法(达朗贝尔判别法)

　　lim的敛散性无法确n??un定

　　①当l?1时，级数收敛；②当l?1时，级数发散.

　　(3)根值法(柯西判别法)

　　limnun?l

　　n??

　　①当l?1时，级数收敛；②当l?1时，级数发散.

　　判断交错级数的敛散性

　　n?1交错级数??1?un?u1?u2?u3?u4??

　　n?1莱布尼茨法则

　　若limun?0,un?un?1，则交错级数收敛.

　　n??

　　当r?1时，级数收敛，当r?1时，级数发散.??????????????????...

　　...

　　?3.一致收敛

　　函数项级数?un?x??u1?x??u2?x????un?x???在I收敛于和函n?1数S?x?，???0,?N?N?,?n?N,?x?I有Sn?x??S?x???

　　例

　　判断下列级数的敛散性

　　(1)?n?1??1n?n2?1?

　　(2)?n?2?13n2?1(3)?n1n?1n?n!???1?1??n?(4)?ln?1??

　　(5)??

　　(6)

　　??n?n?n?1n?1lnnn?1?2n?1??(7)?n?1n2n?1?nnn?11(8)?

　　(9)???1?

　　nn?1n!n?1?解

　　(1)131nn?1?1n23?2??1n3??1n1n2332,由于?n?1?1收敛，所以?3n?1?1nn?1n2?2?收敛.

　　(2)n?12,由于?n?2发散，所以?n?2?13n?12收敛.1??111n?n!?0,而?收敛,由比较法推论知收敛.

　　(3)取vn?,lim?n!n??1n!n?n!n?1n?1n!?1?ln?1????11n??1???1,而?发散,由比较法推论知?ln?1??发散.

　　(4)取vn?,lim1nn???n?n?1nn?1nn(5)limn??n?n1?n??n???1,由根值法知???收敛.???limn??2n?12n?12n?12???n?1??111由根值法知收敛.?lim?0?1,?nlnnlnnnn??lnnn?1nn(6)limn??(7)limun?1n??unn?1?nn?11n2?lim?lim??1,由比值法知?n?1收敛.n??n??2nn2n?122n?1u(8)limn?1?limn??un??n?n?1?n?n?1?!nnn!n?n?1??limn??nn?nn?1??lim?1???e?1,比值法?发散.n???n?n?1n!n

　　一致收敛部分为大学本科重点，专科选修

　　...

　　?111n?11(9)?n?N?,?收敛.

　　且lim?0,由莱布尼茨法则知???1?nnn?1n??nn?1三、课堂练习

　　判断级数的敛散性

　　?11(1)?2(2)?2n?1n?1n?1nlnn?四、课堂小结

　　数项级数敛散性的判别方法

　　板

　　书

　　设

　　计

　　板书11、实级数的基本概念2.实级数敛散性的判别方法

　　板书2练习题

　　学生总结本堂课知识，不足的教师补充

　　教学反思

　　...

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的教

　　学

　　重点和难点

　　4.1复级数的基本性质

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　1.熟练掌握复数项级数敛散性的判别方法

　　2.明确复函数项级数一致收敛的重要性

　　重点：复数项级数敛散性的三个判别法.难点：复函数项级数的一致收敛性.

　　教学(具)准备

　　三角板

　　教学方法

　　一、复数项级数的相关知识和判别法

　　教学

　　主要容

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　回忆数学分析中级数敛散性的判别法，平行推广到复变函数中

　　定理4.1由学生猜测结果并证明,教师给予及时评价

　　讲授法、讨论法

　　二、一致收敛的复函数项级数

　　三、解析函数项级数

　　一、导入新课

　　提问：实正项级数的敛散性判别法.如果将实数域扩大为复数域，得到复数项级数和复函数项级数.二、讲授新课

　　（一）复数项级数

　　1.基本概念

　　(1)??n??1??2???n??,n?1??n为复数

　　?(2)若limSn?S,称级数收敛于S，称S为级数的和，即S???n.

　　n??n?12.判定定理

　　定理4.1级数??n???an?ibn?收敛于a?ib??an,?bn分别收敛于a,b.

　　n?1n?1n?1n?1????...

　　...

　　?定理4.2(柯西准则)

　　级数??n收敛????0,?N?N?,?n?N,?p?N?,有

　　n?1?n?1??n?2????n?p??.

　　注：①级数??n?1?n收敛?lim?n?0；

　　n??②收敛级数的各项必有界；

　　③若级数去掉有限项，不影响其敛散性.定理4.3??n?1?n收敛?级数??n收敛

　　n?1???1i?例4.1判断级数???n?的敛散性.2?n?1?n?11解：?发散，虽然?n收敛，但原级数发散.

　　n?1nn?12?（二）一致收敛的复函数项级数

　　1.基本概念

　　(1)复函数项级数?fn?z??f1?z??f2?z???fn?z???

　　n?1?(2)若复函数项级数的各项在点集E上有定义，且在E上存在一个函数f?z?，对于E上的每一点z，级数均收敛于f?z?，则称f?z?为级数?fn?z?的和函数.

　　n?1?2.

　　一致收敛

　　(1)对于级数?fn?z?，如果在点集E上有一个函数f?z?，使对任给??0，存在n?1?正整数N?N???，当n?N时，对一切的z?E均有f?z??sn?z???，则称级数?f?z?在E上一致收敛于f?z?.

　　nn?1?(2)定理4.4(柯西一致收敛准则)

　　级数在点集E上一致收敛于某函数充要条件是???0,?N????N?,?n?N时,对一切z?E,?p?N?,均有fn?1?z????fn?p?z???.

　　由柯西准则得出3点注释,注①的逆否命题可以判断级数发散

　　介绍绝对收敛和条件收敛的概念

　　例4.1较简单，由学生完成

　　解释复函数项级数和复数项级数的联系

　　强调收敛和一致收敛的区别，让学生把握区别和联系.

　　解题关键是摆脱z,找正数列Mn

　　优级数准则

　　若存在正数列Mn，使对一切z?E有fn?z??Mn且正项级数

　　...

　　Mn收敛，则复函数项级数fn?z?在集E上绝对收敛且一致收敛.

　　n?1n?1例4.2级数1?z?z2???zn??1在闭圆z?r?r?1?上一致收敛.

　　4.一致收敛的应用.

　　?定理4.5和4.6也fn?z?的各项在点集E上连续，并且一致收敛于f?z?，则和函

　　定理4.5设级数和数学分析中相n?1应的定理平行.?

　　fn?z?也在E上连续.

　　数f?z??

　　n?1?

　　fn?z?的各项在曲线C上连续，并且在C上一致收敛于f?z?，定理4.6设级数

　　n?1?

　　则沿C可以逐项积分f?z?dz?fn?z?dz.

　　n?1C

　　（三）解析函数项级数（选学）

　　?fn?z?在D闭一致收敛于f?z?;

　　则

　　定理4.7设(1)函数fn?z?在区域D解析;(2)n?1??p??p?fn?z?=fn?z??z?D,p?1,2,??;

　　(1)函数f?z?在区域D解析;(2)n?1??p??p?fn?z?在D闭一致收敛于fn?z?.(3)

　　n?1三、课堂练习

　　n?1收敛的证明相对证明级数??1?收敛，但非绝对收敛.i?n?1n?1简单，学生分组讨论完成，绝对nnn???1n?11思路：??1?，利用莱布尼茨收敛由老师给出???1??i??1?22i?n?1n?1?n?1??1n?1?n?1??1n?1证明过程

　　1111n???法则证明两个交错级数收敛，由??1?

　　22i?n?1?n?1??1n??2n?2?n

　　判断级数非绝对收敛.

　　学生总结本堂课四、课堂小结

　　知识，不足的教

　　复数项级数敛散性，一致收敛性

　　师补充

　　?????????????????五、布置作业

　　P178—1(2)(3)...

　　...

　　板

　　书

　　设

　　计

　　板书11、复数项级数的基本概念

　　例

　　判定定理

　　板书22.一致收敛的复函数项级数

　　3.解析函数项级数

　　教学反思

　　...

　　章

　　节

　　授课班级

　　授课类型

　　教学目的教

　　学

　　重点和难点

　　4.2幂级数

　　2015级数学教育

　　班

　　理论

　　1.掌握幂级数敛散性的判定方法

　　2.会求幂级数的收敛半径

　　重点：幂级数收敛半径的求法.难点：阿贝尔定理的证明.

　　授课时间

　　学时数

　　20年

　　月

　　日

　　学时

　　教学(具)准备

　　三角板

　　教学方法

　　教学

　　主要容

　　教

　　学

　　过

　　程

　　设

　　计

　　备

　　注

　　回忆数学分析中阿贝尔定理容，类比结果由学生给出，教师给予及时评价

　　讲授法、讨论法

　　一、幂级数的敛散性

　　二、收敛半径的求法

　　一、导入新课

　　幂级数是最特殊的数项级数，相对比与数学分析中的幂级数，相应的知识可以平移过来.二、讲授新课

　　（一）幂级数的敛散性

　　定义4.1具有?cn?z?a??c0?c1?z?a??c2?z?a???形式的复函数项级数称n2n?0?为幂级数，其中c0,c1,c2,?和a都是复常数.如果作变换??z?a，则以上幂级数还可以写成如下形式(把?仍改写为z)?cnzn?c0?c1z?c2z2??

　　n?0?定理4.8（阿贝尔定理）

　　如果幂级数?cn?z?a?在某点z1收敛，则它必在圆nn?0?K:z?a?z1?a绝对收敛且闭一致收敛....

　　...

　　?证(证绝对收敛)设z时所述圆K的任意定点.因为?cn?z?a?收敛，它的各项nn?0必然有界，即有正数M，使cn?z?a??M?n?0,1,2,??这样一来，即有

　　ncn?z?a??nz?an?z?a??，注意到z?a?z1?a，故级数?cn?z1?a???M?z?a?z1?a?1?nnn?z?anM为收敛的等比级数.因而?cn?z?a?在圆K绝对收敛.?z1?an?0n?0(证闭一致收敛)对K任一闭圆K?:z?a???0???z1?a?上的一切点来说，有cn?z?a??nz?a?Mz1?ann???M??z?a?1???，故?cn?z?a?n在K?上有收敛的优级数?n?0?n??M???z?an?0?1??.因而它在K?上绝对且一致收敛，此级数必在圆K绝对且闭一致收??敛.推论4.若幂级数?cn?z?a?在某点z2??a?发散，则它在以a为心并通过z2的nn?0?圆周外部发散.对于幂级数，在z?a这一点总是收敛的，z?a时可能有下述三种情况：

　　第一种

　　任意的z?a，级数?cn?z?a?均发散.nn?0?例如，级数1?z?22z2???nnzn??

　　第二种

　　任意的z，级数?cn?z?a?均收敛.nn?0?

　　放大法寻找优级数

　　方法相同,找优级数,摆脱z放大

　　用反证法证明，由学生完成.

　　收敛半径R?收敛半径R???

　　级数在收敛圆绝对收敛，在圆周上不一定收敛.收敛圆周上的点不一定收敛，它只是敛散的一个界限

　　z2zn例如，级数1?z?2???n??

　　2n第三种

　　存在一点z1，使?cn?z?a?收敛，另外又存在一点z2，使?cn?z?a?nn?0n?0?n??n发散.在这种情况下，存在一个有限正数R，使得?cn?z?a?在圆周z?a?R部n?0绝对收敛，在圆周z?a?R外部发散.R称为此幂级数的收敛半径；圆z?a?R和圆周z?a?R分别称为它的收敛圆和收敛圆周....

　　...

　　（二）收敛半径R的求法

　　定理4.1如果幂级数?cn?z?a?的系数cn满足

　　nn?0?limcn?1?l(达朗贝尔)n??cn或limncn?l(柯西)n??或limncn?l(柯西-阿达马)n??则幂级数?cn?z?a?的收敛半径

　　nn?0??1?l,l?0,l???

　　R??0,l??????,l?0??

　　例4.3试求下列各幂级数的收敛半径R.??znzn

　　(1)?2(2)?

　　(3)?n!zn

　　(4)1?z1?z4?z9??

　　n?0nn?0n!n?0?c?n?1?解

　　(1)R?limn?lim???1，n??cn??n??n?11?n?1?!?0,?R???